Müziğin İçindeki Matematik, Matematiğin İçindeki Müzik

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir.  Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar.

Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak  müzik bir açıdan daha şanslıdır.  Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır.  Ancak matematik böyle midir?

Bu  iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir.  Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u  ilk satırlardan fark edebilir.

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler.

Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.

Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir.  Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.

2/3:3/4=8/9  (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak;  8/9.8/9=64/81  (2M+2M=3M)

Esas sesimiz “do” olsun.  Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2  oranları ile ifade edilir.

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir.  1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir.

Müzikte önemli olan bir başka isim matematikçi Fibonacci’dir. Onun meşhur tavşan çiftliği problemini hatırlayanlar 1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  610,  987… sayı dizisini bilirler. Seriye bakacak olursak,  son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398…

Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran”  veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim.   Tüm doğru parçasının  büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakordu oluşturan 6,  8,  9,  ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu,  oldukça ilginç bir örtüşmedir.

Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Bella Bartok,  altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings,  percussion and celeste”  parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55.  ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre  Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996)

19. yy.  da J. Fourier,  müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier,  müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7)

Ünlü matematikçi Leibniz,  “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı”, matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer  boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

Prof. Dr. Ece Karşal 

Kaynaklar:

AMC (American Music Conference), Music and the Brain ,Exposure to Music is Instrumental to the Brain, University of Munstar .
http://www.amc-music.com/musicmaking/brain/munster.htm. (10.01.2003)
Archibald. R.C. Mathematicians and Music. American Mathematical Monthly. Brown University. September 6, 1923.
Beer.(2003) M. How do Mathematics and Music Relate to Each Other. 
http://perso.unifr.ch/michael.beer/mathandmusic.pdf (01.01.2003)
Bilhartz, Terry.D.& Bruhn, Rick A. & Olson, Judith. (2000) The Effect of Early Music Training on Child Cognitive Development. Journal of Applied Developmental Psychology 20 (4)
Boyle. J. D. & Radocy. R. E. (1987). Measuremet and Evaluation of Musican Experiences. New York: Schirmen Books.
Campbell. D. (2002). Mozart Etkisi. Çeviren: Feryal Çubukçu. İstanbul: Kuraldışı Yayınevi. 
Eco. U. (1998). Ortaçağ Estetiğinde Sanat ve Güzellik. İstanbul: Can Yayınları.
Goeghegan. N.&Mitchlmore. M. (1996). “Possible Effects of Early Childhood Music on Mathematical Achievment”. Australian Research in Early Childhood Education. Volume 1, p.9.
Gönen, A. (1998). Mathematical Aspects of Harmony in Music. Yayımlanmamış Doktora tezi. İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul. 
Karşal. E. (2004) . “lköğretim 1. Kademe 2. Sınıf 8 Yaş Grubu Çocukların Müzik Yetenekleri ile Matematik Yetenekleri ve Soyut Zekaları Arasındaki İlişki.” 1924-2003 Musiki Muallim Mektebinden Günümüze Müzik Öğretmeni Yetiştirme Sempozyumu. Isparta. 
May. M. (1996). Did Mozart Use Golden Section?. Science Observer. March-April.
Orhan. C. ” Matematik ve Müzik”. Matematik Dünyası. (Şubat 1995) Cilt 5,Salı 1. s:6 Ankara:Türk Hava Kurumu Matbaası.
Reid, Harvey. (1995) On Mathematics and Music. http://harveyreid.com/writing/essays/math+music.html (10.10.2003)
Rothstein. E. (1996). Emblems of Mind- The Inner Life of Music and Mathematics. New York: Avon Books.
Sertöz. S. (1996). Matematiğin Aydınlık Dünyası. Ankara: Tübitak.
Shaw. G. (2000). Keeping Mozart in Mind. USA: Academic Press.
Winkel. R.(2000)  Mathematics and Music. Institut fur Reine und Angewandte Mathematik . November 21th, 2000 http://www.iram.rwth-aachen.de/~winkel/papers/19.pdf (10.12.2002).

Matematiksel